Transformasi Galileo dan Lorentz dalam Redefinisi Relativitas

Transformasi Galileo dan Lorentz dalam Redefinisi Relativitas

Transformasi Galileo dan Transformasi Lorentz kita kenal dalam pembahasan gerak. Berdasarkan teori relativitas khusus, transformasi Galileo hanya berlaku untuk kecepatan yang relative rendah, jauh lebih lambat dibanding  kecepatan cahaya. Sementara menurut teori relativitas khusus, transformasi Lorentz berlaku umum untuk semua kecepatan. Namun setelah kita memasukkan postulat ketiga dalam redefinisi relativitas, bisa dibuktikan bahwa transformasi Galileo adalah transformasi inersia dan berlaku umum untuk semua kecepatan pengamat. Sementara itu, dalam transformasi Lorentz ditemukan pengabaian fundamental pada arah sebaran cahaya dari objek kepada pengamat yang mengakibatkan tidak terpenuhinya kondisi tertentu dalam konsep koordinat ruang dan waktu.

Konsep Titik Materi dalam Dimensi Ruang dan Waktu :

Dalam konteks makrokosmos dan mikrokosmos, koordinat ruang dan waktu ditentukan oleh koordinat ruang dan koordinat waktu. Jika P dan P’ adalah suatu titik materi dalam dimensi ruang dan waktu, maka P dan P’ akan berada dalam koordinat yang sama persis, hanya dan hanya jika P adalah P’ itu sendiri. Karena jika P adalah materi yang berbeda dengan P’, maka dalam waktu yang sama akan selalu ada jarak antara P dengan P’ sedemikian hingga jarak P-P’ > 0 satuan jarak. Dengan demikian dalam titik original 0 seperti dalam gambar 1 berikut, jika materi P mewakili titik original dan P’ juga mewakili titik original yang sama dalam koordinat ruang dan waktu, hanya mungkin terjadi jika dan hanya jika P adalah P’ itu sendiri.

gambar 1 : Konsep Titik dalam Dimensi Ruang dan Waktu

Dalam konsep ini, titik materi P bisa memiliki jarak dengan P’ (materi yang sama dengan P), jika dan hanya jika berada dalam waktu yang berbeda sedemikian hingga waktu P-P’ ≠ 0. Materi P akan berada dalam ruang yang berbeda dalam waktu yang berbeda jika bergerak. Untuk rentang waktu tertentu dalam dimensi ruang, posisi koordinat P dan P’ bisa digambarkan seperti gambar 2 berikut.

Gambar 2 : Koordinat materi bergerak P dan O dalam waktu yang berbeda

Demikian juga dengan titik materi O (x,y,z), hanya mungkin menempati ruang dan waktu yang sama dengan titik materi O’(x’,y’,z’),  jika dan hanya jika O adalah O’ itu sendiri. Dalam konsep ini, materi O akan memiliki jarak dengan O’, jika dan hanya jika berada dalam waktu yang berbeda sedemikian hingga waktu O-O’ ≠ 0. Materi O akan berada dalam ruang yang berbeda dalam waktu yang berbeda jika bergerak. Pada rentang waktu dalam dimensi ruang, posisi koordinat O dan O’ juga bisa digambarkan seperti gambar 2 di atas.

Jika koordinat ruang diwakili oleh koordinat  x, y dan z, maka titik temu dalam koordinat ruang dan waktu selain harus memiliki nilai x, y dan z yang sama, juga harus berada dalam waktu yang sama. Begitu juga dengan titik mula kejadian dalam ruang dan waktu, hanya akan valid jika dan hanya jika dimulai dari koordinat ruang yang sama dan dalam waktu yang sama. Dengan kata lain, titik temu dan titik mula kejadian adalah suatu titik dalam koordinat ruang waktu sedemikian hingga nilai x, y, z dan t bernilai sama bagi pengamat atau objek tertentu.

Transformasi Galileo :

Sesuai dengan konsep koordinat ruang dan waktu diatas, jika kita ingin menggambarkan keadaan dua pengamat sebagai acuan dalam waktu yang sama, tentu harus ada dua pengamat yang berbeda, misalnya P₁ dan P₂ seperti dalam gambar 3 berikut :

Gambar 3 : Pengamat P₁ dan P₂ sedang mengamati objek O

Pengamat P₁ diam atau relatife diam, pengamat P₂ relatif bergerak dan Objek O relative bergerak. Marilah kita memotret koordinat ruang kejadian tersebut dalam suatu rentang waktu. Dalam rentang waktu yang lebih besar dari epsilon (ε) waktu, posisi P₁ adalah tetap dalam tempatnya, sementara posisi P₂ dan O berada dalam ujung panah merah dalam dimensi ruang.

Berdasarkan tulisan sebelumnya (Redefinisi Relativitas :  Kaitan Konsep Kesinkronan dan Ketidaksinkronan Waktu , Konsep Ruang Inersia, Konsep Kecepatan Inersia dan Relative), waktu inersia, ruang inersia dan kecepatan inersia adalah bernilai sama bagi semua pengamat, baik yang diam maupun yang bergerak. Dengan demikian, rentang waktu pemotretan kejadian inersia O adalah sama bagi P₁ dan P₂. Jika posisi O menurut P₁ dalam koordinat x, y dan z memenuhi fungsi :

x_o = f(t), dan kecepatan inersia O dalam sumbu x adalah v_ox=df(t)/dt

y_o =g(t), dan kecepatan inersia O dalam sumbu y adalah v_oy=dg(t)/dt

z_o=h(t), dan kecepatan inersia O dalam sumbu z adalah v_oz=dh(t)/dt

Dan posisi P₂ menurut P₁ dalam koordinat x, y dan z memenuhi fungsi :

x₂=h(t), dan kecepatan inersia P₂ dalam sumbu x adalah v_2x=dh(t)/dt

y₂=i(t), dan kecepatan inersia P₂ dalam sumbu x adalah v_2y=di(t)/dt

z₂=j(t), dan kecepatan inersia P₂ dalam sumbu x adalah v_2z=dj(t)/dt

Ruang inersia menurut P₂ adalah sama menurut P₁, dengan demikian koordinat ruang inersia O menurut P₁ dan P₂ adalah juga sama. Dalam setiap waktu t dalam rentang waktu tersebut, posisi O menurut P₂ adalah :

x’_o = f(t) – h(t)

y’_o= g(t) – i(t)

z’_o = h(t)- j(t)

Karena waktu inersia sama bagi semua pengamat, maka kecepatan O menurut P₂bisa dituliskan menjadi:

V_ox’ = dx’_o/dt = df(t)/dt – dh(t)/dt = v_ox-v_2x

V_oy’ = dy’_o/dt = df(t)/dt – dh(t)/dt = v_oy-v_2y

V_oz’ = dz’_o/dt = df(t)/dt – dh(t)/dt = v_oz-v_2z

Dengan demikian transformasi Galileo adalah transformasi ruang dan waktu inersia, berlaku sama untuk semua kecepatan pengamat dan untuk semua kecepatan objek. Kecepatan relative inersia benda menurut pengamat yang satu dengan yang lainnya juga memenuhi transformasi Galileo, untuk semua kecepatan pengamat dan objek.

Tranformasi Lorentz

Cahaya merambat dengan kecepatan tertentu, dalam ruang hampa sebesar c. Bagaimanapun cepatnya, untuk mencapai jarak tertentu cahaya memerlukan waktu tertentu juga. Jika jarak OP ≠ OP’, maka cahaya dari O tidak akan sampai dalam waktu yang sama di titik P dan P’. Jika jarak OP > OP’ seperti yang digambarkan dalam gambar 4 berikut, dan jika waktu tiba cahaya di P’ adalah t₁ dan waktu tiba cahaya di P adalah t₂, maka bisa disimpulkan bahwa t₂ > t₁.

Gambar 4 : Sebaran Cahaya Memerlukan Waktu Perambatan

Karenanya jika ada materi yang bergerak dari koordinat P ke P’, pada saat cahaya merambat dari O ke P atau P’, kita akan selalu bisa menemukan bahwa materi tersebut sudah bergerak lebih lama dari ε waktu. Karenanya materi tersebut akan memiliki jarak dengan koordinat P. Konsekuensinya, materi tersebut akan sampai pada suatu titik dimana jarak materi tersebut ke P saat t₁ akan lebih dekat dibanding jarak materi tersebut ke P saat t₂.

Begitu juga dengan benda yang bergerak dari koordinat O. Ketika cahaya tiba di P’ dalam waktu t₁, benda tersebut sudah bergerak dalam waktu yang lebih lama dari ε waktu. Karenanya benda tersebut akan memiliki jarak dengan koordinat O. Dan saat cahaya sampai di P dalam waktu t₂, benda tersebut akan berada dalam jarak yang lebih jauh dari O.

Sekarang kita analisa transformasi Lorentz  menggunakan arah sebaran cahaya dalam salah satu sumbu ruang, misalnya sumbu x, seperti dalam gambar 5 berikut. Posisi O menurut pengamat P yang diam adalah x dan posisi O menurut pengamat P’ yang bergerak adalah x’.

Gambar 5 : Transformasi Lorentz

Seperti disarankan dalam RSTR, dalam pembahasan gerak relative, kita harus memperhatikan fakta bahwa cahaya menyebar dari objek menuju pengamat. Dengan memperhatikan arah sebaran cahaya dari objek menuju pengamat, sesuai dengan gambar 5, kita bisa melihat bahwa dalam transformasi Lorentz yang selama ini dikenal, terdapat kesalahan fundamental dalam hal pengabaian arah sebaran cahaya. Pengabaian ini membuat  titik temu P’, yang bergerak, dianggab sebagai titik temu dari kejadian V_p.t dan c.t’, meskipun kedua kejadian tersebut berada dalam waktu yang berbeda.

Sesuai dengan prinsip dilasi waktu, untuk pengamat dan objek yang bergerak,  jika t dan t’ dimulai dari waktu 0 yang sama, maka t ≠ t’. Konsekuensinya, titik temu P’ akan menyalahi konsep titik temu koordinat ruang dan waktu seperti dipaparkan dalam pembahasan dibagian awal tulisan ini.  Untuk mengatasi ini, Lorentz memperkenalkan variable k sebagai penyama persamaan, sedemikian hingga bisa dituliskan persamaan berikut :

c.t’ = k(c.t – v_p.t)      ………………(1)

Tetapi walau bagaimanapun hal ini tidak akan menghasilkan kesimpulan yang valid, karena titik P’ yang bergerak tidak bisa disebut sebagai titik temu dalam dimensi ruang dan waktu untuk dua kejadian V_p.t dan c.t’ karena t ≠ t’.

P’ hanya akan merupakan titik temu dari dua kejadian dalam waktu yang berbeda, jika dan hanya jika P’ diam. Selain itu sesuai dengan konsep titik materi dalam koordinat ruang dan waktu, jika P’ adalah pengamat yang semula dalam satu koordinat dengan P, tentu P adalah P’ itu sendiri. Konsekuensinya ketika P’ berada dalam koordinat ruang yang berbeda dengan P, maka tentu P’ berada dalam waktu yang berbeda dengan P. Karenanya penggambaran O dan O’ dalam transformasi Lorentz dalam rentang waktu yang sama dengan P dan P’, hanya akan berada dalam koordinat ruang yang sama jika dan hanya jika O adalah diam.  Dalam kondisi ini, transformasi Lorentz akan menjadi seperti digambarkan dalam gambar 6 berikut.

Gambar 6 : Transformasi Lorenz valid untuk kondisi P dan O diam.

Dalam kondisi P dan O diam atau relative diam, sesuai dengan gambar 6, maka persamaan (1) konsep dasar transformasi Lorentz akan menjadi :

c.t’ = k(c.t)      ………….(2)

Dan k akan bernilai 1, sehingga persamaan (2) akan menjadi :

t’ = t              ……………..(3)

Dengan demikian menurut RSTR, bisa disimpulkan bahwa penurunan transformasi Lorentz hanya valid untuk kondisi pengamat dan objek yang diam.

Dalam penggambaran penurunan transformasi Lorentz, seperti dalam gambar 5, jika posisi P dalam waktu yang berbeda berada dalam koordinat yang berbeda (P’), maka untuk objek O yang bergerak maka O’ harus berada dalam koordinat ruang yang berbeda juga. Hal ini bisa digambarkan seperti dalam gambar 7 berikut.

Gambar 7 : Koreksi transformasi Lorentz jika objek bergerak.

V_p adalah kecepatan inersia P, V_o adalah kecepatan inersia O, t adalah waktu inersia yang berlaku sama bagi P dan O, dan t’ adalah waktu pengamatan. Dengan demikian untuk gerak dalam sumbu tersebut, akan didapatkan persamaan :

V_p.t’+c.t’ = c.t+v_o.t    ………………..(4)

Sebagai pengganti persamaan (1) yang merupakan dasar penurunan transformasi Lorentz untuk sumbu yang sama. Dengan cara ini, transformasi Lorentz yang semula mengabaikan arah gerak sebaran cahaya dari objek kepada pengamat,  bisa direvisi.